最長公共子串問題：

給定兩個字符串，求出它們之間最長的相同子字符串的長度。

暴力解法思路：

1.以兩個字符串的每個字符為開頭，往后比較，這樣就會需要兩層循環

2.兩層循環內部的比較方式，也是一層循環，以當前字符為起點，往后遍歷比較，直到有不同就跳出這次循環，記錄下相同子字符串的長度

3.以最長的那次長度為準，因此也就是有三層循環。時間復雜度O(n^3)

longest=0
for i=0;i<str1.size;i++
    for j=0;j<str2.size;j++
        m=i  n=j length=0
    while(m<str1.size && n<str2.size)
            if str1[m]!=str2[n] break
            ++length
            ++m
            ++n
        longest=longest<length ? length:longest

動態規劃法：

1.上面的比較過程中，以i和j為起點開始，如果遇到不同的停止后，下一次的開始位置會進行重復比較

2.動態規劃法-空間換時間，矩陣圖，可以把復雜度降至O(n^2)

3.str1是橫軸，str2是縱軸，table[i][j]就是以這兩個字符為結尾的最長子串的長度

4.table[0][j]可以推出，如果str1[0]==str2[j]的就為1，table[i][0]可以推出，如果str1[i]==str2[0] 就為1，其余為0

5.table[i][j] 如果str1[i]==str2[j] 可以由table[i-1][j-1]+1得到,不等就為0

假設兩個字符串分別為s和t，s[i]和t[j]分別表示其第i和第j個字符(字符順序從0開始)，再令L[i, j]表示以s[i]和s[j]為結尾的相同子串的最大長度。應該不難遞推出L[i, j]和L[i+1,j+1]之間的關系，因為兩者其實只差s[i+1]和t[j+1]這一對字符。若s[i+1]和t[j+1]不同，那么L[i+1, j+1]自然應該是0，因為任何以它們為結尾的子串都不可能完全相同；而如果s[i+1]和t[j+1]相同，那么就只要在以s[i]和t[j]結尾的最長相同子串之后分別添上這兩個字符即可，這樣就可以讓長度增加一位。合并上述兩種情況，也就得到L[i+1,j+1]=(s[i]==t[j]?L[i,j]+1:0)這樣的關系。

代碼實例：

<?php
$str1="abcdef";
$str2="esdfdbcde1";

//暴力解法
function longestCommonSubstring1($str1,$str2){
        $longest=0;
        $size1=strlen($str1);
        $size2=strlen($str2);
        for($i=0;$i<$size1;$i++){
                for($j=0;$j<$size2;$j++){
                        $m=$i;
                        $n=$j;
                        $length=0;
                        while($m<$size1 && $n<$size2){
                                if($str1[$m]!=$str2[$n]) break;
                                ++$length;
                                ++$m;
                                ++$n;
                        }   
                        $longest=$longest < $length ? $length : $longest;
                }   
        }   
        return $longest;
}
//矩陣動態規劃法
function longestCommonSubstring2($str1,$str2){
        $size1=strlen($str1);
        $size2=strlen($str2);
        $table=array();
        for($i=0;$i<$size1;$i++){
                $table[$i][0]=$str1[$i]==$str2[0] ? 1:0;
        }   
        for($j=0;$j<$size2;$j++){
                $table[0][$j]=$str1[0]==$str2[$j] ? 1:0;
        }   
        for($i=1;$i<$size1;$i++){
                for($j=1;$j<$size2;$j++){
                        if($str1[$i]==$str2[$j]){
                                $table[$i][$j]=$table[$i-1][$j-1]+1;    
                        }else{
                                $table[$i][$j]=0;
                        }    
                }   
        }   
        $longest=0;
        for($i=0;$i<$size1;$i++){
                for($j=0;$j<$size2;$j++){
                        $longest=$longest<$table[$i][$j] ? $table[$i][$j] : $longest;
        }}  
        return $longest;
}
$len=longestCommonSubstring1($str1,$str2);
$len=longestCommonSubstring2($str1,$str2);
var_dump($len);

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